YOG LEEJ TWG, tus ntawd yog: SIB HLUB KOJ - part 2

Hauv ntu yav dhau los, peb tau hais txog Sudoku, qhov kev ua lej lej uas cov lej tau pib hauv ntau daim duab raws li qee txoj cai. Qhov sib txawv tshaj plaws yog 9 × 9 chessboard, ntxiv rau muab faib ua cuaj 3 × 3 hlwb. Cov lej ntawm 1 txog 9 yuav tsum tau teem rau ntawm nws kom lawv tsis txhob rov ua kab ntsug (cov lej suav hais tias: hauv ib kem) lossis hauv kab kab rov tav (cov lej suav hais tias: hauv kab) - thiab, ntxiv rau, yog li ntawd. lawv tsis rov ua dua. rov ua dua hauv ib qho me me square.

Na fig. 1 Peb pom cov puzzle no nyob rau hauv ib tug yooj yim version, uas yog ib tug 6 × 6 square muab faib ua 2 × 3 duab plaub. kab rov tav, los yog nyob rau hauv txhua tus ntawm cov xaiv hexagons.

Cia peb sim ua kom pom nyob rau sab saum toj square. Koj puas tuaj yeem sau nws nrog cov lej ntawm 1 txog 6 raws li cov cai teev tseg rau qhov kev ua si no? Nws yog ua tau - tab sis tsis meej. Cia peb saib - kos ib lub xwmfab ntawm sab laug lossis ib lub xwmfab ntawm sab xis.

Peb tuaj yeem hais tias qhov no tsis yog lub hauv paus rau lub puzzle. Peb feem ntau xav tias ib qho puzzle muaj ib qho kev daws teeb meem. Lub luag haujlwm ntawm kev nrhiav cov hauv paus sib txawv rau "loj" Sudoku, 9x9, yog txoj haujlwm nyuaj thiab tsis muaj sijhawm los daws nws tag nrho.

Lwm qhov kev sib txuas tseem ceeb yog qhov kev sib cav sib ceg. Hauv qab nruab nrab square (tus naj npawb 2 nyob rau hauv qab sab xis ces kaum) tsis tuaj yeem ua tiav. Vim li cas?

Kev lom zem thiab kev tawm tsam

Peb ua si rau. Cia peb siv me nyuam txoj kev xav. Lawv ntseeg tias kev lom zem yog kev qhia txog kev kawm. Wb mus rau qhov chaw. hloov rau fig. 2 sawv daws pom daim phiaj tetrahedronlos ntawm cov khoom, piv txwv li, ping-pong pob? Cia peb nco ntsoov lub tsev kawm ntawv cov lus qhia ntawm geometry. Cov xim ntawm sab laug ntawm daim duab piav qhia tias nws yog glued rau thaum sib dhos lub thaiv. Tshwj xeeb, peb lub ces kaum (liab) pob yuav raug muab khi rau hauv ib qho. Yog li ntawd, lawv yuav tsum yog tib tus lej. Tej zaum 9. Vim li cas? Thiab yog vim li cas tsis?

Auj kuv tsis tau hais nws cov dej num. Nws suab zoo li no: nws puas tuaj yeem sau cov lej ntawm 0 txog 9 hauv daim phiaj pom kom txhua lub ntsej muag muaj tag nrho cov lej? Txoj hauj lwm tsis nyuaj, tab sis koj yuav tsum xav txog ntau npaum li cas! Kuv yuav tsis lwj qhov kev txaus siab ntawm cov neeg nyeem thiab yuav tsis muab kev daws teeb meem.

Qhov no yog ib tug zoo nkauj heev thiab underestimated zoo. tsis tu ncua octahedron, ua los ntawm ob lub pyramids (= pyramids) nrog lub hauv paus square. Raws li lub npe qhia, octahedron muaj yim lub ntsej muag.

Muaj rau qhov ntsug hauv ib qho octahedron. Nws contradicts lub voos xwmfabuas muaj rau lub ntsej muag thiab yim vertices. Cov npoo ntawm ob lub pob yog tib yam - kaum ob txhua. Qhov no ob chav khoom - qhov no txhais tau hais tias los ntawm kev sib txuas cov chaw ntawm lub ntsej muag ntawm lub voos xwmfab peb tau txais octahedron, thiab qhov chaw ntawm lub ntsej muag ntawm lub octahedron yuav muab peb lub voos xwmfab. Ob lub pob no ua haujlwm ("vim lawv yuav tsum") Euler formula: Tus lej ntawm tus naj npawb ntawm vertices thiab tus naj npawb ntawm lub ntsej muag yog 2 ntau tshaj tus lej ntawm cov npoo.

3. Ib txwm octahedron nyob rau hauv parallel projection thiab ib tug octahedron lattice tsim ntawm spheres nyob rau hauv xws li ib tug txoj kev uas txhua ntug muaj plaub spheres.

Txoj Hauj Lwm 1. Ua ntej, sau cov kab lus kawg ntawm kab lus dhau los uas siv cov qauv lej. Nyob ntawm fig. 3 koj pom ib daim phiaj octahedral, kuj ua los ntawm spheres. Txhua ntug muaj plaub lub pob. Txhua lub ntsej muag yog daim duab peb sab ntawm kaum spheres. Qhov teeb meem tau teeb tsa ntawm nws tus kheej: nws puas tuaj yeem tso cov lej ntawm 0 txog 9 hauv lub voj voog ntawm kab sib chaws kom tom qab gluing lub cev muaj zog, txhua phab ntsa muaj tag nrho cov lej (nws ua raws li qhov tsis muaj rov ua dua). Raws li ua ntej, qhov nyuaj tshaj plaws hauv txoj haujlwm no yog yuav ua li cas lub mesh hloov mus rau hauv lub cev muaj zog. Kuv tsis tuaj yeem piav qhia hauv kev sau ntawv, yog li kuv tsis muab qhov kev daws teeb meem ntawm no thiab.

4. Ob tug icosahedrons los ntawm ping-pong npas. Pom cov xim txawv.

twb Plato (thiab nws nyob rau hauv lub XNUMXth-XNUMXth centuries BC) paub tag nrho cov tsis tu ncua polyhedra: tetrahedron, lub voos xwmfab, octahedron, dema ib i icosahedron. Nws zoo kawg li nws mus txog qhov ntawd - tsis muaj cwj mem, tsis muaj ntawv, tsis muaj cwj mem, tsis muaj phau ntawv, tsis muaj smartphone, tsis muaj internet! Kuv yuav tsis tham txog dodecahedron ntawm no. Tab sis lub icosahedral sudoku yog nthuav. Peb pom lub pob no duab 4thiab nws lub network siv 5.

5. Tsis tu ncua mesh ntawm icosahedron.

Raws li yav dhau los, qhov no tsis yog ib daim phiaj nyob rau hauv qhov kev nkag siab uas peb nco qab (?!) los ntawm tsev kawm ntawv, tab sis ib txoj kev ntawm gluing daim duab peb sab ntawm pob (pob).

Txoj Hauj Lwm 2. Nws siv pes tsawg lub pob los tsim kom muaj ib qho icosahedron? Puas yog cov laj thawj hauv qab no tseem muaj tseeb: txij li txhua lub ntsej muag yog daim duab peb sab, yog tias yuav tsum muaj 20 lub ntsej muag, ces xav tau ntau li 60 lub ntsej muag?

6. Daim phiaj ntawm icosahedron los ntawm spheres. Txhua lub voj voog yog, piv txwv li, ib lub pob ping-pong, tab sis kev tsim cov voj voog ntawm cov voj voog uas cim nrog tib xim sib koom ua ke. Yog li ntawd peb muaj kaum ob spheres (= kaum ob vertices: liab, xiav, ntshav, xiav thiab yim daj).

Nws yog ib qho yooj yim kom pom tias peb tus lej hauv icosahedron tsis txaus. Ntau qhov tseeb: nws tsis tuaj yeem suav cov vertices nrog cov lej 1, 2, 3 kom txhua lub ntsej muag (daim duab peb sab) muaj peb tus lej thiab tsis muaj qhov rov ua dua. Puas muaj peev xwm nrog plaub tus lej? Yog nws ua tau! Cia peb saib Rice. 6i7 ib.

7. Ntawm no yog yuav ua li cas thiaj suav cov spheres uas ua rau lub icosahedron kom txhua lub ntsej muag muaj cov lej uas tsis yog 1, 2, 3, 4. Qhov twg ntawm lub cev hauv daim duab. 4 xim zoo li no?

Txoj Hauj Lwm 3. Peb ntawm plaub tus lej tuaj yeem xaiv tau plaub txoj hauv kev: 123, 124, 134, 234. Nrhiav tsib daim duab peb sab hauv icosahedron hauv daim duab. 7 (zoo li los ntawm cov duab 4).

Txoj Hauj Lwm 4 (yuav tsum muaj kev xav zoo heev spatial). Lub icosahedron muaj kaum ob sab, uas txhais tau hais tias nws tuaj yeem ua ke los ntawm kaum ob lub pob (fig. 7). Nco ntsoov tias muaj peb qhov vertices (= pob) sau nrog 1, peb nrog 2, thiab lwm yam. Yog li, cov pob ntawm tib xim tsim ib daim duab peb sab. Daim duab peb sab no yog dab tsi? Tej zaum equilateral? Saib dua cov duab 4.

Lwm txoj hauj lwm rau yawg/pojniam thiab tub xeeb ntxwv/ntxhais. Cov niam txiv tuaj yeem sim lawv tes, tab sis lawv xav tau kev ua siab ntev thiab sijhawm.

Txoj Hauj Lwm 5. Yuav kaum ob (zoo dua 24) pob ping-pong, qee plaub xim xim, txhuam, thiab cov kua nplaum zoo - Kuv tsis pom zoo kom ceev ceev xws li Superglue lossis Droplet vim lawv qhuav sai heev thiab txaus ntshai rau menyuam yaus. Kua nplaum rau ntawm icosahedron. Hnav koj tus ntxhais xeeb ntxwv hauv lub tsho T-shirt uas yuav tsum tau ntxuav (lossis pov tseg) tam sim ntawd tom qab ntawd. Npog lub rooj nrog ntawv ci (nyiam dua nrog cov ntawv xov xwm). Ua tib zoo xim lub icosahedron nrog plaub xim 1, 2, 3, 4, raws li qhia hauv daim duab. fig. 7. Koj tuaj yeem hloov qhov kev txiav txim - thawj xim cov balloons thiab tom qab ntawd muab cov nplaum nplaum. Nyob rau tib lub sijhawm, cov voj voog me me yuav tsum tau muab pov tseg kom tsis txhob pleev xim rau cov xim.

Tam sim no txoj hauj lwm nyuaj tshaj plaws (ntau qhov tseeb, lawv cov kab ke tag nrho).

Txoj Hauj Lwm 6 (Qhov tshwj xeeb tshaj yog, lub ntsiab lus dav dav). Teem lub icosahedron li tetrahedron thiab octahedron rau Rice. 2i3 ib Qhov no txhais tau tias yuav tsum muaj plaub lub pob ntawm txhua ntug. Hauv qhov sib txawv no, txoj haujlwm yog ob qho tib si siv sijhawm thiab txawm tias kim. Cia peb pib los ntawm kev tshawb xyuas seb koj xav tau pes tsawg lub pob. Txhua lub ntsej muag muaj kaum spheres, yog li lub icosahedron xav tau ob puas? Tsis muaj! Peb yuav tsum nco ntsoov tias muaj ntau lub npas sib koom. Ib tug icosahedron muaj pes tsawg tus ntug? Nws tuaj yeem suav nrog kev mob siab rau, tab sis Euler formula rau dab tsi?

w-k+s = 2

qhov twg w, k, s yog tus naj npawb ntawm vertices, ntug, thiab lub ntsej muag, ntsig txog. Peb nco ntsoov tias w = 12, s = 20, uas txhais tau tias k = 30. Peb muaj 30 ntug ntawm lub icosahedron. Koj tuaj yeem ua nws txawv, vim tias yog tias muaj 20 daim duab peb sab, ces lawv tsuas muaj 60 npoo, tab sis ob qho tib si.

Cia peb suav pes tsawg lub pob koj xav tau. Hauv txhua daim duab peb sab tsuas muaj ib lub pob sab hauv - tsis yog nyob rau sab saum toj ntawm peb lub cev, lossis ntawm ntug. Yog li, peb muaj tag nrho ntawm 20 lub pob zoo li no. Muaj 12 lub ncov. Txhua ntug muaj ob lub pob uas tsis yog vertex (lawv nyob hauv ntug, tab sis tsis nyob hauv lub ntsej muag). Txij li thaum muaj 30 npoo, muaj 60 marbles, tab sis ob ntawm lawv tau sib koom, uas txhais tau tias koj tsuas xav tau 30 marbles, yog li koj xav tau tag nrho 20 + 12 + 30 = 62 marbles. Cov pob tuaj yeem yuav yam tsawg kawg 50 pennies (feem ntau kim dua). Yog tias koj ntxiv cov nqi ntawm cov kua nplaum, nws yuav tawm ... ntau heev. Zoo gluing yuav tsum tau ob peb teev ntawm kev mob siab ua hauj lwm. Ua ke lawv tsim nyog rau kev ua si lom zem - Kuv xav kom lawv tsis yog, piv txwv li, saib TV.

Rov qab 1. Nyob rau hauv Andrzej Wajda zaj duab xis series Xyoos, Hnub, ob tug txiv neej ua si chess "vim tias lawv yuav tsum tau dhau sijhawm mus txog thaum noj hmo." Nws tshwm sim hauv Galician Krakow. Tseeb tiag: cov ntawv xov xwm twb tau nyeem (tom qab ntawd lawv muaj 4 nplooj ntawv), TV thiab xov tooj tseem tsis tau tsim, tsis muaj kev sib tw ncaws pob. Boreddom nyob rau hauv lub puddles. Hauv qhov xwm txheej zoo li no, tib neeg tuaj nrog kev lom zem rau lawv tus kheej. Hnub no peb muaj lawv tom qab nias lub chaw taws teeb tswj ...

Rov qab 2. Ntawm lub rooj sib tham 2019 ntawm Lub Koom Haum ntawm Cov Xib Fwb ntawm Kev Ua Lej, tus kws tshaj lij Spanish tau qhia txog lub khoos phis tawj uas tuaj yeem pleev xim phab ntsa hauv txhua xim. Nws yog me ntsis creepy, vim lawv tsuas rub tes, yuav luag txiav tawm lub cev. Kuv xav rau kuv tus kheej: Koj tuaj yeem tau txais kev lom zem npaum li cas los ntawm qhov "shading"? Txhua yam siv sijhawm ob feeb, thiab los ntawm plaub peb tsis nco qab dab tsi. Meanwhile, qub-fashioned "needlework" calms thiab qhia ntawv. Leej twg tsis ntseeg, cia nws sim.

Cia peb rov qab mus rau xyoo pua XNUMX thiab rau peb qhov tseeb. Yog hais tias peb tsis xav kom so nyob rau hauv daim ntawv ntawm laborious gluing ntawm cov khoom, ces peb yuav kos yam tsawg kawg ib daim phiaj ntawm ib tug icosahedron, cov npoo ntawm uas muaj plaub lub pob. Yuav ua li cas? Chop nws txoj cai siv 6. Attentive nyeem ntawv twb twv qhov teeb meem:

Txoj Hauj Lwm 7. Puas yog nws tuaj yeem suav cov pob nrog cov lej ntawm 0 txog 9 kom tag nrho cov lej no tshwm sim ntawm txhua lub ntsej muag ntawm ib qho icosahedron?

Peb raug them rau dab tsi?

Niaj hnub no peb feem ntau nug peb tus kheej cov lus nug ntawm lub hom phiaj ntawm peb cov dej num, thiab "tus neeg them se grey" yuav nug vim li cas nws thiaj li yuav tsum them nyiaj rau cov lej los daws cov kev sib tw no?

Cov lus teb yog yooj yim zoo nkauj. Xws li " puzzles", nthuav nyob rau hauv lawv tus kheej, yog "ib feem ntawm ib yam dab tsi loj dua." Tom qab tag nrho, cov tub rog parades tsuas yog ib qho sab nraud, zoo kawg nkaus ntawm kev pabcuam nyuaj. Kuv yuav muab ib tug piv txwv xwb, tab sis kuv yuav pib nrog ib tug coj txawv txawv tab sis thoob ntiaj teb kev paub txog lej. Xyoo 1852, ib tug tub kawm ntawv Askiv tau nug nws tus xibfwb tias nws puas tuaj yeem ua xim daim ntawv qhia nrog plaub xim kom cov tebchaws nyob sib ze yeej ib txwm muaj xim sib txawv? Cia kuv ntxiv tias peb tsis xav txog "cov neeg nyob ze" cov neeg uas ntsib ntawm ib qho taw tes, xws li xeev Wyoming thiab Utah hauv Asmeskas. Tus xibhwb tsis paub... thiab qhov teeb meem tau tos ib puas xyoo lawm.

8. Icosahedron los ntawm RECO blocks. Flash reflectors qhia dab tsi icosahedron muaj nyob rau hauv sib xws nrog daim duab peb sab thiab pentagon. Tsib daim duab peb sab converge ntawm txhua vertex.

Nws tshwm sim nyob rau hauv ib txoj kev npaj txhij txog. Xyoo 1976, ib pab pawg neeg Amelikas tau sau ib txoj haujlwm los daws qhov teeb meem no (thiab lawv tau txiav txim siab: yog, plaub xim ib txwm muaj txaus). Qhov no yog thawj qhov pov thawj ntawm kev ua lej qhov tseeb tau txais kev pab los ntawm "lub tshuab lej" - raws li lub khoos phis tawj hu ua ib nrab xyoo dhau los (thiab txawm tias ua ntej: "hluav taws xob lub hlwb").

Nov yog qhov tshwj xeeb qhia "daim ntawv qhia ntawm Tebchaws Europe" (fig. 9). Cov teb chaws uas muaj ib tug ciam teb sib txuas. Xim daim ntawv qhia yog tib yam li coloring lub voj voog ntawm daim duab no (hu ua daim duab) kom tsis txhob muaj cov voj voog txuas nrog tib xim. Saib ntawm Liechtenstein, Belgium, Fabkis thiab lub teb chaws Yelemees pom tias peb xim tsis txaus. Yog tias koj xav tau, Nyeem Ntawv, xim nws nrog plaub xim.

9. Leej twg ciam teb nrog leej twg hauv Tebchaws Europe?

Zoo, yog, tab sis nws puas tsim nyog rau cov neeg them se cov nyiaj? Yog li cia peb saib tib daim duab sib txawv me ntsis. Tsis nco qab tias muaj xeev thiab ciam teb. Cia lub voj voog cim cov ntaub ntawv xa tawm los ntawm ib qho mus rau lwm qhov (piv txwv li, los ntawm P mus rau EST), thiab cov ntu sawv cev rau kev sib txuas tau, txhua qhov muaj nws tus kheej bandwidth. Xa sai li sai tau?

Ua ntej, cia peb saib ntawm qhov yooj yim heev, tab sis kuj nthuav dav heev los ntawm kev ua lej ntawm qhov pom. Peb yuav tsum xa ib yam dab tsi los ntawm taw tes S (= raws li pib) mus rau taw tes M (= tiav) siv kev sib txuas network nrog tib lub bandwidth, hais 1. Peb pom qhov no hauv fig. 10.

10. Network ntawm kev sib txuas los ntawm Statsyika Zdrój mus rau Megapolis.

Cia peb xav txog tias txog 89 cov ntaub ntawv yuav tsum tau xa los ntawm S mus rau M. Tus sau cov lus no nyiam cov teeb meem ntawm tsheb ciav hlau, yog li nws xav tias nws yog tus thawj coj ntawm Stacie Zdrój, los ntawm qhov chaw nws yuav tsum xa 144 lub tsheb ciav hlau. mus rau metropolis chaw nres tsheb. Yog vim li cas raws nraim 144? Vim tias, raws li peb yuav pom, qhov no yuav raug siv los suav cov kev xa tawm ntawm tag nrho lub network. Lub peev xwm yog 1 hauv txhua qhov ntau, i.e. ib lub tsheb tuaj yeem hla ib chav tsev ntawm lub sijhawm (ib cov ntaub ntawv me ntsis, tej zaum kuj yog Gigabyte).

Cia peb nco ntsoov tias txhua lub tsheb sib ntsib tib lub sijhawm hauv M. Txhua tus tuaj txog hauv 89 units ntawm lub sijhawm. Yog tias kuv muaj cov ntaub ntawv tseem ceeb heev los ntawm S mus rau M xa, kuv tawg mus rau hauv pab pawg ntawm 144 units thiab thawb nws raws li saum toj no. Tus lej lav tias qhov no yuav yog qhov ceev tshaj plaws. Ua li cas kuv thiaj paub tias koj xav tau 89? Kuv twv tau tiag tiag, tab sis yog tias kuv tsis twv, kuv yuav tsum txiav txim siab Kirchhoff equations (Puas muaj leej twg nco tau? - cov no yog cov kab zauv piav qhia txog qhov ntws ntawm qhov tam sim no). Lub network bandwidth yog 184/89, uas yog kwv yees li ntawm 1,62.

Hais txog kev xyiv fab

Los ntawm txoj kev, kuv nyiam tus lej 144. Kuv nyiam caij npav nrog tus lej no mus rau Castle Square hauv Warsaw - thaum tsis muaj Royal Tsev fuabtais rov qab los ntawm nws. Tej zaum cov tub ntxhais hluas nyeem ntawv paub tias lub kaum os yog dab tsi. Qhov ntawd yog 12 daim ntawv luam, tab sis tsuas yog cov neeg nyeem laus nco qab tias ib lub kaum os, piv txwv li. 122 = 144, qhov no yog hu ua ntau. Thiab txhua tus uas paub lej me ntsis ntau dua li cov ntaub ntawv kawm hauv tsev kawm yuav nkag siab tam sim ntawd fig. 10 peb muaj tus lej Fibonacci thiab tias lub network bandwidth ze rau "tus lej kub"

Nyob rau hauv Fibonacci ib theem zuj zus, 144 yog tib tus lej uas yog ib lub square zoo meej. Ib puas plaub caug plaub kuj yog "tus lej zoo siab." Qhov ntawd yog li cas ib tug Indian amateur mathematician Dattatreya Ramachandra Caprecar Xyoo 1955, nws tau sau cov lej uas faib los ntawm cov lej ntawm lawv cov lej suav:

Yog nws paub Adam Mickiewicz, nws yeej yuav tau sau tsis muaj nyob rau hauv Dzyady: “Los ntawm ib tug coj txawv txawv niam; nws cov ntshav yog nws cov qub heroes / Thiab nws lub npe yog plaub caug plaub, tsuas yog ntau elegant: Thiab nws lub npe yog ib puas thiab plaub caug plaub.

Ua kev lom zem tiag tiag

Kuv vam tias kuv tau ntseeg cov neeg nyeem tias Sudoku puzzles yog qhov lom zem ntawm cov lus nug uas tsim nyog yuav tsum tau ua tiag tiag. Kuv tsim tsis tau lub ncauj lus no ntxiv lawm. Auj, tag nrho network bandwidth xam los ntawm daim duab muab rau fig. 9 sau ib qho kev sib npaug yuav siv li ob lossis ntau teev - tej zaum txawm tias kaum vib nas this (!) ntawm kev ua haujlwm hauv computer.