Cov qauv yooj yim nrog tus cwj pwm nyuaj xws li chaos

Lub khoos phis tawj yog ib qho cuab yeej siv los ntawm cov kws tshawb fawb los nthuav tawm cov lus zais ua tib zoo zais los ntawm qhov xwm txheej. Kev ua qauv, nrog rau kev sim thiab kev xav, yog txoj hauv kev thib peb los kawm hauv ntiaj teb.

Peb xyoos dhau los, ntawm University of Silesia, peb tau tsim ib txoj haujlwm los koom ua ke hauv computer txoj hauv kev rau kev kawm. Yog li ntawd, ntau cov ntaub ntawv tseem ceeb heev tau tsim, ua kom yooj yim dua thiab tob dua los kawm ntau lub ntsiab lus. Python tau raug xaiv los ua cov cuab yeej tseem ceeb, uas, ua ke nrog lub zog ntawm cov tsev qiv ntawv tshawb fawb, yog qhov kev daws teeb meem zoo tshaj plaws rau "kev sim hauv computer" nrog kev sib npaug, duab lossis cov ntaub ntawv. Ib qho kev nthuav dav tshaj plaws ntawm kev ua tiav workbench yog Sage [2]. Nws yog qhov qhib kev sib koom ua ke ntawm lub khoos phis tawj algebra nrog cov lus Python, thiab tseem tso cai rau koj tam sim ntawd pib ua si siv lub web browser thiab ib qho ntawm cov kev xaiv nkag tau los ntawm kev pabcuam huab [3] lossis ib lub khoos phis tawj nkaus xwb uas muaj kev sib tham sib. version ntawm kab lus no yog ua raws li [4] .

Chaos hauv ecology

Nyob rau xyoo 1st ntawm Oxford University, Australian tus kws tshawb fawb Robert May tau kawm txog qhov theoretical ntawm cov pej xeem dynamics. Nws tau sau tseg nws txoj haujlwm hauv ib daim ntawv uas tau tshwm sim hauv phau ntawv Journal Nature hauv qab lub npe provocative "Cov Qauv Lej Yooj Yim nrog Cov Dynamics Zoo Heev" [XNUMX]. Tau ntau xyoo, tsab xov xwm no tau dhau los ua ib qho ntawm cov haujlwm tshaj lij tshaj plaws hauv theoretical ecology. Dab tsi ua rau muaj kev txaus siab rau txoj haujlwm no?

Qhov teeb meem classical ntawm pej xeem dynamics yog xam cov pej xeem yav tom ntej ntawm ib hom tsiaj, muab nws lub xeev tam sim no. Kev ua lej, ecosystems raug suav hais tias yog qhov yooj yim tshaj plaws uas lub neej ntawm ib tiam neeg ntawm ib lub caij nyoog. Ib qho piv txwv zoo yog cov pej xeem ntawm kab uas tau ua tiav metamorphosis hauv ib lub caij, xws li npauj npaim. Lub sij hawm yog ib txwm muab faib ua discrete periods2 coj mus rau lub neej voj voog ntawm cov pejxeem. Yog li, qhov sib npaug piav txog xws li ib qho ecosystem ib txwm muaj qhov hu ua discrete lub sij hawm, i.e. t = 1,2,3... Robert May tau cuam tshuam nrog cov kev hloov pauv zoo li no, thiab lwm yam. Hauv nws qhov laj thawj, nws yooj yim rau lub ecosystem rau ib hom tsiaj uas nws cov pej xeem yog plaub lub luag haujlwm ntawm cov pej xeem xyoo dhau los. Tus qauv no tuaj qhov twg?

Qhov yooj yim sib npaug sib npaug piav qhia txog kev hloov pauv ntawm cov pej xeem yog cov qauv linear:

qhov twg Ni yog cov nplua nuj nyob rau lub caij i-th, thiab Ni + 1 piav qhia cov pej xeem nyob rau lub caij tom ntej. Nws yog ib qho yooj yim kom pom tias qhov sib npaug no tuaj yeem ua rau peb qhov xwm txheej. Thaum a = 1, evolution yuav tsis hloov qhov loj ntawm cov pejxeem, thiab <1 ua rau kev ploj tuag, thiab rooj plaub a> 1 txhais tau tias kev loj hlob ntawm cov pejxeem tsis txwv. Qhov no yuav ua rau muaj kev tsis sib haum xeeb. Txij li txhua yam nyob rau hauv qhov xwm txheej yog txwv, nws ua rau kev txiav txim siab los kho qhov sib npaug no kom suav nrog cov peev txheej tsawg. Xav txog tias cov kab tsuag noj cov nplej, uas txhua xyoo zoo ib yam. Yog tias kab muaj tsawg tsawg piv rau cov khoom noj uas lawv tuaj yeem tsim dua tshiab, lawv tuaj yeem tsim tau ntawm lub zog ntawm cov menyuam yaus tag nrho, kev ua lej txiav txim siab los ntawm qhov tsis tu ncua a> 1. Txawm li cas los xij, raws li tus naj npawb ntawm cov kab tsuag ntau ntxiv, cov zaub mov yuav tsis tshua muaj thiab muaj peev xwm ua rau me nyuam yuav txo. Hauv qhov xwm txheej tseem ceeb, ib tus tuaj yeem xav txog tias muaj ntau cov kab yug los uas lawv noj tag nrho cov nplej ua ntej lawv muaj sij hawm yug me nyuam, thiab cov pejxeem tuag. Ib qho qauv uas coj mus rau hauv tus account qhov cuam tshuam ntawm kev txwv tsis pub nkag mus rau zaub mov yog thawj zaug los ntawm Verhulst hauv 1838. Hauv cov qauv no, qhov kev loj hlob tsis tas li, tab sis nyob ntawm lub xeev ntawm cov pej xeem:

Kev sib raug zoo ntawm tus nqi loj hlob a thiab Ni yuav tsum muaj cov cuab yeej hauv qab no: yog tias cov pej xeem nce, qhov kev loj hlob yuav tsum txo qis vim tias kev nkag mus rau zaub mov nyuaj. Tau kawg, muaj ntau txoj haujlwm nrog cov cuab yeej no: cov no yog cov haujlwm saum toj kawg nkaus. Verhulst tau hais txog kev sib raug zoo hauv qab no:

qhov twg a>0 thiab tas li K>0 cim cov khoom noj khoom haus thiab hu ua lub peev xwm ntawm ib puag ncig. Kev hloov pauv hauv K cuam tshuam li cas ntawm cov pejxeem kev loj hlob? Yog tias K nce, Ni / K yuav txo. Nyob rau hauv lem, qhov no ua rau lub fact tias 1-Ni / K loj hlob, uas txhais tau hais tias nws loj hlob. Qhov no txhais tau hais tias kev loj hlob zuj zus tuaj thiab cov pejxeem loj hlob sai. Yog li cia peb hloov pauv tus qauv dhau los (1) los ntawm kev xav tias qhov kev loj hlob hloov pauv raws li qhov sib npaug (3). Tom qab ntawd peb tau txais qhov sib npaug

Qhov kev sib npaug no tuaj yeem sau ua qhov sib npaug recursive

qhov twg xi = Ni / K thiab xi + 1 = Ni + 1 / K denote the rescaled populations in time i and time i + 1. Equation (5) is called the logistic equation.

Tej zaum nws yuav zoo li tias nrog kev hloov kho me me, peb tus qauv yog qhov yooj yim rau kev txheeb xyuas. Cia peb mus xyuas. Xav txog qhov sib npaug (5) rau qhov parameter a = 0.5 pib los ntawm thawj pej xeem x0 = 0.45. Sequential pejxeem qhov tseem ceeb tuaj yeem tau txais los ntawm kev sib npaug recursive (5):

x₁= ax₀(1st₀)

x₂= ax₁(1st₁)

x₃= ax₂(1st₂)

Txhawm rau pab txhawb kev suav hauv (6), peb tuaj yeem siv cov kev pabcuam hauv qab no (nws tau sau rau hauv Python thiab tuaj yeem khiav tau, ntawm lwm yam, ntawm Sage platform. Peb xav kom koj nyeem phau ntawv http://icse.us.edu .pl/e-book . ), ua peb tus qauv:

ua = 0.5 x = 0.45 rau kuv nyob rau hauv ntau (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      luam x

Peb suav cov txiaj ntsig ua tiav ntawm xi thiab pom tias lawv zoo li xoom. Los ntawm kev sim nrog cov cai saum toj no, nws kuj yog ib qho yooj yim kom pom tias qhov no muaj tseeb tsis hais tus nqi pib ntawm x0. Qhov no txhais tau hais tias cov pejxeem tau tuag tas li.

Nyob rau theem thib ob ntawm kev tsom xam, peb nce tus nqi ntawm qhov ntsuas a mus rau txhua tus nqi hauv qhov ntau ae (1,3). Nws hloov tawm hais tias tom qab ntawd cov kab ke xi mus rau ib qho nyiaj x * > 0. Txhais qhov no los ntawm qhov kev xav ntawm ecology, peb tuaj yeem hais tias cov pej xeem loj yog tsau ntawm ib theem, uas tsis hloov ntawm lub caij mus rau lub caij. . Nws yog tsim nyog sau cia tias tus nqi ntawm x * tsis nyob ntawm qhov pib lub xeev x0. Qhov no yog cov txiaj ntsig ntawm ecosystem txoj kev sib zog ua kom ruaj khov - cov pej xeem kho nws qhov loj me kom muaj peev xwm pub nws tus kheej. Kev ua lej, nws tau hais tias qhov system nyhav rau qhov chaw ruaj khov, piv txwv li. txaus siab rau qhov sib npaug x = f(x) (qhov no txhais tau hais tias lub caij tom ntej lub xeev zoo ib yam li lub sijhawm dhau los). Nrog Sage, peb tuaj yeem pom qhov evolution graphically los ntawm kev npaj cov pejxeem nyob rau lub sijhawm.

Cov txiaj ntsig zoo li no tau xav tau los ntawm cov kws tshawb fawb, thiab qhov sib npaug logistic (5) yuav tsis tau nyiam ntau yog tias nws tsis yog rau qhov xav tsis thoob. Nws muab tawm tias rau qee qhov txiaj ntsig ntawm qhov ntsuas, qauv (5) coj tus cwj pwm tsis zoo. Ua ntej, muaj cov xeev ntu ntu thiab ntau lub sijhawm. Qhov thib ob, nrog rau txhua lub sijhawm, cov pejxeem hloov pauv tsis sib xws, zoo li kev txav mus los. Thib peb, muaj kev nkag siab zoo rau cov xwm txheej pib: ob lub xeev yuav luag tsis paub meej ua rau muaj kev hloov pauv ntawm cov pej xeem sib txawv. Tag nrho cov yam ntxwv no yog cov yam ntxwv ntawm tus cwj pwm uas zoo ib yam li kev txav mus los thiab hu ua deterministic chaos.

Cia peb tshawb xyuas cov cuab yeej no!

Ua ntej, cia peb teeb tus nqi ntawm qhov parameter a = 3.2 thiab saib cov evolution. Tej zaum nws yuav zoo li xav tsis thoob tias lub sijhawm no cov pejxeem nce mus txog tsis yog ib qho nqi, tab sis ob, uas tshwm sim txuas ntxiv txhua lub caij thib ob. Txawm li cas los xij, nws tau pom tias cov teeb meem tsis xaus rau ntawd. Nrog a = 4, qhov system tsis tuaj yeem kwv yees. Cia peb saib ntawm daim duab (2) lossis peb yuav tsim cov kab ke ntawm peb tus kheej siv lub computer. Cov txiaj ntsig tau tshwm sim yog qhov tsis sib xws thiab sib txawv heev rau cov neeg pib sib txawv me ntsis. Txawm li cas los xij, tus nyeem ntawv zoo siab yuav tsum tawm tsam. Yuav ua li cas ib tug system piav los ntawm ib tug deterministic equation1, txawm ib tug yooj yim heev, coj unpredictably? Zoo, tej zaum.

Ib tug feature ntawm no system yog nws zoo kawg li rhiab heev rau thawj yam mob. Nws yog txaus los pib nrog ob qho xwm txheej thawj zaug uas txawv ntawm ib lab, thiab hauv ob peb kauj ruam peb yuav tau txais cov txiaj ntsig sib txawv kiag li. Cia peb tshawb xyuas lub computer:

ua = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] rau kuv nyob rau hauv ntau (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) siv x,y

Ntawm no yog tus qauv yooj yim ntawm kev txiav txim siab evolution. Tab sis qhov kev txiav txim siab no yog kev dag ntxias, nws tsuas yog kev txiav txim siab lej xwb. Los ntawm qhov ua tau zoo ntawm qhov pom, lub kaw lus coj tus cwj pwm tsis zoo vim tias peb tsis tuaj yeem teeb tsa thawj zaug hauv lej raws nraim. Qhov tseeb, txhua yam yog txiav txim siab nrog qhov tseeb: txhua qhov ntsuas ntsuas muaj qhov tseeb, thiab qhov no tuaj yeem ua rau muaj qhov tsis txaus ntseeg hauv kev txiav txim siab uas muaj cov cuab yeej ntawm chaos. Ib qho piv txwv yog cov qauv huab cua huab cua, uas ib txwm muaj cov cuab yeej ntawm chaos. Qhov no yog vim li cas lub sij hawm ntev huab cua huab cua phem heev.

Kev tsom xam ntawm chaotic systems yog qhov nyuaj heev. Txawm li cas los xij, peb tuaj yeem daws tau ntau yam tsis paub meej ntawm chaos yooj yim heev nrog kev pab ntawm computer simulations. Cia peb kos lub npe hu ua bifurcation daim duab, uas peb muab qhov tseem ceeb ntawm qhov parameter a raws abscissa axis, thiab cov ntsiab lus ruaj khov ntawm daim ntawv qhia logistic raws li ordinate axis. Peb tau txais cov ntsiab lus ruaj khov los ntawm kev simulating ntau lub tshuab ib txhij thiab plotting qhov tseem ceeb tom qab ntau lub sij hawm ua qauv. Raws li koj tuaj yeem twv, qhov no yuav tsum tau suav ntau. Cia peb sim ua "ua tib zoo" cov txheej txheem hauv qab no:

import numpy as np Nx = 300 NPV = 500 х = np.linspace(0,1, Nx) х = х + e.g. eros ((Na, Nx)) х = np.transpose (x) a = e.g. Linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) rau kuv nyob rau hauv ntau (100): x = a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] rau a_,x_in zip(a.flatten(),x.flatten())] point (pt, loj = 1, figsize = (7,5))

Peb yuav tsum tau txais qee yam zoo ib yam li daim duab (3). Yuav txhais li cas daim duab no? Piv txwv li, nrog tus nqi ntawm qhov parameter a = 3.3, peb muaj 2 cov ntsiab lus ruaj khov (cov pej xeem loj yog tib yam txhua lub caij thib ob). Txawm li cas los xij, rau qhov ntsuas a = 3.5 peb muaj 4 cov ntsiab lus tas mus li (txhua lub caij plaub cov pejxeem muaj tib tus lej), thiab rau qhov ntsuas a = 3.56 peb muaj 8 cov ntsiab lus tas li (txhua lub caij yim neeg muaj tib tus lej). Tab sis rau qhov parameter a≈3.57, peb muaj ntau lub ntsiab lus ruaj khov infinitely (cov pej xeem loj yeej tsis rov ua dua thiab hloov pauv hauv txoj kev tsis tuaj yeem pom). Txawm li cas los xij, nrog lub khoos phis tawj program, peb tuaj yeem hloov pauv qhov ntsuas ntawm qhov ntsuas a thiab tshawb nrhiav qhov tsis kawg geometric qauv ntawm daim duab no nrog peb tus kheej tes.

Qhov no tsuas yog lub ntsis ntawm lub iceberg. Ntau txhiab daim ntawv tshawb fawb tau sau txog qhov sib npaug no, tab sis nws tseem zais nws cov lus zais. Nrog kev pab ntawm lub computer simulation, koj muaj peev xwm, tsis txawm resorting mus rau siab dua lej, ua si lub pioneer ntawm lub ntiaj teb no ntawm nonlinear dynamics. Peb caw koj los nyeem cov ntawv online uas muaj cov ntsiab lus ntawm ntau qhov nthuav dav ntawm cov kab zauv logistic thiab nthuav txoj hauv kev kom pom lawv.

¹ Txoj cai txiav txim siab yog txoj cai lij choj uas yav tom ntej tau txiav txim siab tshwj xeeb los ntawm thawj lub xeev. Lub antonym yog txoj cai probabilistic. ² Hauv kev ua lej, "discrete" txhais tau tias tau txais txiaj ntsig los ntawm qee qhov suav tau. Qhov opposite yog "nruam".