Geometric paths thiab thickets
Thaum sau tsab xov xwm no, kuv nco txog ib zaj nkauj qub heev los ntawm Jan Pietrzak, uas nws tau hu ua ntej nws kev ua yeeb yam hauv cabaret Pod Egidą, tau lees paub nyob rau hauv Polish People's Republic raws li kev nyab xeeb valve; ib tug yuav ncaj ncees luag ntawm lub paradoxes ntawm lub system. Nyob rau hauv zaj nkauj no, tus sau tau pom zoo rau kev koom nrog kev nom kev tswv, thuam cov uas xav ua nom tswv thiab kaw xov tooj cua hauv ntawv xov xwm. "Nws zoo dua rov qab mus rau tsev kawm ntawv nyeem," Petshak muaj hnub nyoog XNUMX xyoo tau hu nkauj tsis txaus ntseeg.
Kuv rov qab mus kawm ntawv nyeem. Kuv rov nyeem dua (tsis yog thawj zaug) phau ntawv Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Rau ob peb nyeem, lo lus nws tus kheej hais ib yam dab tsi. Qhov no yog lub npe ntawm tus ntxhais ntawm tus naas ej Hindu lej hu ua Bhaskara (1114-1185), lub npe hu ua Akaria, los yog cov neeg txawj ntse uas tau sau nws phau ntawv ntawm algebra nrog lub npe ntawd. Lilavati tom qab ntawd tau los ua ib tug kws ua lej renowned thiab philosopher nws tus kheej. Raws li lwm qhov chaw, nws yog tus sau phau ntawv nws tus kheej.
Szczepan Yelensky muab tib lub npe rau nws phau ntawv ntawm lej (thawj tsab, 1926). Tej zaum nws yuav nyuaj rau hu rau phau ntawv no ua lej ua haujlwm - nws yog ntau ntawm cov kev sib tw, thiab feem ntau rov sau dua los ntawm Fabkis cov peev txheej (txoj cai hauv kev xav niaj hnub tsis muaj). Txawm li cas los xij, tau ntau xyoo nws tsuas yog phau ntawv Polish nrov ntawm kev ua lej - tom qab Jelensky phau ntawv thib ob, Pythagoras's Sweets, tau ntxiv rau nws. Yog li cov tub ntxhais hluas nyiam ua lej (uas yog raws nraim li kuv ib zaug) tsis muaj dab tsi xaiv los ntawm ...
ntawm qhov tod tes, "Lilavati" yuav tsum paub yuav luag ntawm lub siab... Ah, muaj qee lub sijhawm... Lawv qhov txiaj ntsig loj tshaj plaws yog tias kuv yog ... ib tug hluas thaum ntawd. Niaj hnub no, los ntawm qhov kev xav ntawm tus kws qhia lej paub zoo, Kuv saib Lilavati hauv txoj kev sib txawv kiag li - tej zaum zoo li tus neeg nce toj ntawm qhov khoov ntawm txoj kev mus rau Shpiglasova Pshelench. Tsis muaj leej twg los sis lwm tus tsis poob nws txoj kev ntxim nyiam ... Hauv nws tus cwj pwm style, Shchepan Yelensky, uas yog lub npe hu ua lub tswv yim hauv teb chaws hauv nws tus kheej lub neej, nws sau nyob rau hauv preface:
Yog tias tsis tau kov cov lus piav qhia ntawm lub teb chaws tus yam ntxwv, kuv yuav hais tias txawm tias tom qab cuaj caum xyoo, Yelensky cov lus hais txog lej tsis tau poob lawv qhov tseeb. Kev kawm lej qhia koj kom xav. Nws yog qhov tseeb. Peb puas tuaj yeem qhia koj kom xav txawv, yooj yim dua thiab zoo nkauj dua? Tej zaum. Nws tsuas yog ... peb tseem ua tsis tau. Kuv piav qhia rau kuv cov tub ntxhais kawm uas tsis xav ua lej tias qhov no kuj yog ib qho kev xeem ntawm lawv cov kev txawj ntse. Yog tias koj kawm tsis tau txoj kev ua lej yooj yim tiag tiag, ces... tej zaum koj lub peev xwm puas siab puas ntsws hnyav dua li peb ob leeg xav tau...?
Cov cim qhia hauv cov xuab zeb
Thiab ntawm no yog thawj zaj dab neeg nyob rau hauv "Lylavati" - ib zaj dab neeg piav los ntawm Fabkis philosopher Joseph de Maistre (1753-1821).
Ib tug neeg tsav nkoj los ntawm lub nkoj tawg tau raug nthwv dej los ntawm ntug dej hiav txwv, uas nws suav hais tias tsis muaj neeg nyob. Dheev, nyob rau hauv ntug dej hiav txwv xuab zeb, nws pom ib tug kab ntawm ib tug geometric daim duab kos nyob rau hauv pem hauv ntej ntawm ib tug neeg. Thaum ntawd nws thiaj paub hais tias cov kob tsis yog deserted!
Quoting de Mestri, Yelensky sau: daim duab geometricnws yuav yog ib tug hais lus tsis zoo rau cov tsis muaj hmoo, shipwrecked, coincidence, tab sis nws qhia nws ntawm ib tug glance feem thiab tus naj npawb, thiab qhov no heralded ib tug enlightened txiv neej. Zoo heev rau keeb kwm.
Nco ntsoov tias tus neeg tsav nkoj yuav ua rau tib qho kev tawm tsam, piv txwv li, los ntawm kev kos tsab ntawv K, ... thiab lwm yam kev pom ntawm tus neeg. Ntawm no lub geometry yog idealized.
Txawm li cas los xij, tus kws tshawb fawb hnub qub Camille Flammarion (1847-1925) tau hais tias kev vam meej tuaj yeem sib tham los ntawm qhov deb siv geometry. Nws pom hauv qhov no tsuas yog qhov tseeb thiab muaj peev xwm sim ntawm kev sib txuas lus. Cia peb qhia xws li Martians lub Pythagorean daim duab peb sab ... lawv yuav teb peb nrog Thales, peb yuav teb lawv nrog Vieta qauv, lawv lub voj voog yuav haum rau hauv daim duab peb sab, yog li kev phooj ywg pib ...
Cov kws sau ntawv xws li Jules Verne thiab Stanislav Lem rov qab los rau lub tswv yim no. Thiab nyob rau xyoo 1972, cov vuas nrog cov qauv geometric (thiab tsis yog xwb) tau muab tso rau ntawm lub nkoj Pioneer sojntsuam, uas tseem hla dhau qhov kev nthuav dav ntawm qhov chaw, tam sim no yuav luag 140 astronomical units los ntawm peb (1 Kuv yog qhov nruab nrab ntawm lub ntiaj teb los ntawm lub ntiaj teb). . Sun, piv txwv li, txog 149 lab km). Cov pobzeb tau tsim, ib feem, los ntawm astronomer Frank Drake, tus tsim ntawm txoj cai tsis sib haum xeeb ntawm tus naj npawb ntawm cov neeg ntiaj teb kev vam meej.
Geometry yog amazing. Peb txhua tus paub lub ntsiab lus dav dav ntawm lub hauv paus chiv keeb ntawm kev tshawb fawb no. Peb (peb tib neeg) nyuam qhuav pib ntsuas thaj av (thiab tom qab ntawd thaj av) rau lub hom phiaj feem ntau siv. Kev txiav txim siab nyob deb, kos kab ncaj, kos lub kaum sab xis thiab suav cov ntim maj mam dhau los ua qhov tsim nyog. Li no tag nrho geometry ("Kev ntsuas lub ntiaj teb"), yog li tag nrho cov lej ...
Txawm li cas los xij, rau qee lub sij hawm no daim duab meej ntawm keeb kwm ntawm kev tshawb fawb clouded peb. Yog hais tias kev ua lej tsuas yog xav tau rau kev ua haujlwm xwb, peb yuav tsis koom nrog kev ua pov thawj yooj yim theorems. "Koj pom tias qhov no yuav tsum muaj tseeb," ib tug yuav hais tom qab kuaj xyuas tias nyob rau hauv ob peb txoj cai daim duab peb sab cov sum ntawm cov squares ntawm lub hypotenuses yog sib npaug rau cov square ntawm lub hypotenuse. Vim li cas thiaj li formalism?
Plum ncuav qab zib yuav tsum tau qab, lub computer program yuav tsum ua hauj lwm, lub tshuab yuav tsum tau ua hauj lwm. Yog tias kuv suav lub peev xwm ntawm peb caug zaug thiab txhua yam nyob rau hauv kev txiav txim, yog vim li cas lwm?
Lub sijhawm no, nws tau tshwm sim rau cov neeg Greek thaum ub uas yuav tsum muaj qee cov pov thawj raug cai.
Yog li, lej pib nrog Thales (625-547 BC). Nws yog xav tias nws yog Miletus uas pib xav tias yog vim li cas. Nws tsis txaus rau cov neeg txawj ntse uas lawv tau pom ib yam dab tsi, tias lawv ntseeg txog ib yam dab tsi. Lawv pom qhov xav tau kev pov thawj, ib qho laj thawj ntawm kev sib cav los ntawm kev xav mus rau thesis.
Lawv kuj xav tau ntau dua. Nws yog tej zaum Thales uas thawj zaug sim piav qhia lub cev tshwm sim hauv txoj kev naturalistic, tsis muaj kev cuam tshuam los saum ntuj. European lub tswv yim pib nrog lub tswv yim ntawm xwm - nrog dab tsi yog twb tom qab physics (li no lub npe: metaphysics). Tab sis lub hauv paus ntawm European ontology thiab ntuj lub tswv yim tau tso los ntawm Pythagoreans (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).
Nws nrhiav tau nws lub tsev kawm ntawv nyob rau hauv Crotone nyob rau sab qab teb ntawm lub Apennine Peninsula - hnub no peb yuav hu nws ib tug sect. Kev tshawb fawb (hauv kev nkag siab tam sim no ntawm lo lus), mysticism, kev ntseeg thiab kev xav yog txhua yam sib cuam tshuam. Thomas Mann tau nthuav tawm cov lus qhia ntawm kev ua lej zoo nkauj hauv German gymnasium hauv tus kws kho mob Faustus tshiab. Txhais los ntawm Maria Kuretskaya thiab Witold Virpsha, qhov seem no nyeem:
Nyob rau hauv Charles van Doren phau ntawv nthuav, Keeb Kwm ntawm Kev Paub los ntawm Kaj ntug ntawm Keeb Kwm mus rau Hnub Nyoog Kawg, kuv pom ib qho kev xav zoo heev. Hauv ib tshooj, tus sau piav txog qhov tseem ceeb ntawm lub tsev kawm ntawv Pythagorean. Lub npe ntawm tshooj ntaus kuv. Nws nyeem: "Lub Invention of Mathematics: The Pythagoreans".
Peb feem ntau sib tham txog seb cov kev xav ua lej puas raug tshawb pom (xws li thaj av tsis paub) lossis tsim khoom (xws li cov tshuab uas tsis muaj nyob ua ntej). Qee tus kws paub txog lej muaj tswv yim pom lawv tus kheej ua cov kws tshawb fawb, lwm tus yog cov neeg tsim khoom lossis cov neeg tsim qauv, feem ntau suav nrog.
Tab sis tus kws sau phau ntawv no sau txog kev tsim lej ntawm kev ua lej feem ntau.
Los ntawm exaggeration mus rau delusion
Tom qab qhov kev taw qhia ntev no, kuv yuav txav mus rau qhov pib heev. geometrylos piav qhia txog qhov kev cia siab dhau ntawm geometry tuaj yeem ua rau tus kws tshawb fawb yuam kev. Johannes Kepler paub nyob rau hauv physics thiab astronomy raws li tus neeg nrhiav pom ntawm peb txoj cai ntawm kev txav ntawm lub cev xilethi-aus. Ua ntej, txhua lub ntiaj teb nyob rau hauv lub hnub ci zog txav ib ncig ntawm lub hnub nyob rau hauv ib tug elliptical orbit, nrog lub hnub ntawm ib tug ntawm nws foci. Qhov thib ob, nyob rau lub sijhawm tsis tu ncua lub teeb ci ntawm lub ntiaj teb, kos los ntawm Lub Hnub, kos cov teb sib npaug. Qhov thib peb, qhov piv ntawm lub square ntawm lub sij hawm ntawm lub kiv puag ncig ntawm lub ntiaj teb nyob ib ncig ntawm lub hnub mus rau lub voos xwmfab ntawm lub semi-loj axis ntawm nws orbit (piv txwv li, qhov nruab nrab nyob deb ntawm lub hnub) yog tas mus li rau tag nrho cov ntiaj chaw nyob rau hauv lub hnub ci system.
Tej zaum qhov no yog txoj cai thib peb - nws xav tau ntau cov ntaub ntawv thiab kev suav los tsim nws, uas ua rau Kepler txuas ntxiv mus nrhiav cov qauv hauv kev txav thiab txoj haujlwm ntawm lub ntiaj teb. Keeb kwm ntawm nws qhov tshiab "discovery" yog cov lus qhia heev. Txij li thaum ancient sij hawm, peb tau qhuas tsis tsuas yog tsis tu ncua polyhedra, tab sis kuj muaj kev sib cav qhia tias tsuas muaj tsib ntawm lawv nyob rau hauv qhov chaw. Lub polyhedron peb-dimensional hu ua tsis tu ncua yog tias nws lub ntsej muag zoo ib yam li niaj zaus polygons thiab txhua qhov vertex muaj tib tus lej ntawm cov npoo. Piv txwv li, txhua lub ces kaum ntawm ib tug niaj hnub polyhedron yuav tsum "zoo tib yam". Lub npe nrov tshaj plaws polyhedron yog lub voos xwmfab. Txhua leej txhua tus tau pom ib pob luj taws.
Lub tetrahedron li niaj zaus tsis tshua paub, thiab hauv tsev kawm ntawv nws yog hu ua lub pyramid li niaj zaus. Nws zoo li lub pyramid. Qhov seem peb li niaj zaus polyhedra tsis tshua paub. Ib qho octahedron yog tsim thaum peb txuas cov chaw ntawm cov npoo ntawm lub voos xwmfab. Dodecahedron thiab icosahedron twb zoo li pob. Ua los ntawm cov tawv mos mos, lawv yuav nyiam khawb. Qhov laj thawj uas tsis muaj cov polyhedra li niaj zaus tshaj li tsib Platonic cov khib nyiab yog qhov zoo heev. Ua ntej, peb paub tias yog tias lub cev tsis tu ncua, ces tib tus lej (cia q) ntawm cov polygons zoo ib yam yuav tsum sib sau ua ke ntawm txhua qhov vertex, cia cov no yog p-angles. Tam sim no peb yuav tsum nco ntsoov dab tsi yog lub kaum sab xis nyob rau hauv ib tug niaj zaus polygon. Yog tias ib tug neeg tsis nco qab los ntawm tsev kawm ntawv, peb nco ntsoov koj yuav ua li cas thiaj nrhiav tau tus qauv zoo. Peb tau mus ncig ntawm lub ces kaum. Ntawm txhua qhov vertex peb tig los ntawm tib lub kaum sab xis a. Thaum peb mus ncig ntawm lub polygon thiab rov qab mus rau qhov chaw pib, peb tau ua p li lem, thiab tag nrho peb tau tig 360 degrees.
Tab sis α yog 180 degrees 'ua tiav ntawm lub kaum peb xav suav, thiab yog li ntawd
Peb tau pom cov mis rau lub kaum sab xis (tus lej lej yuav hais tias: ntsuas ntawm lub kaum sab xis) ntawm ib qho polygon tsis tu ncua. Cia peb kuaj: hauv daim duab peb sab p = 3, tsis muaj a
Zoo li no. Thaum p = 4 (square), ces
degrees kuj zoo thiab.
Peb tau txais dab tsi rau lub pentagon? Yog li yuav ua li cas thaum muaj q polygons, txhua p muaj tib lub kaum sab xis
degrees nqis los ntawm ib qho vertex? Yog tias nws nyob ntawm lub dav hlau, ces lub kaum sab xis yuav tsim
degrees thiab tsis tuaj yeem ntau dua 360 degrees - vim tias tom qab ntawd cov polygons sib tshooj.
Txawm li cas los xij, txij li cov polygons sib ntsib hauv qhov chaw, lub kaum sab xis yuav tsum tsawg dua lub kaum sab xis.
Thiab ntawm no yog qhov tsis sib xws los ntawm qhov nws tag nrho cov hauv qab no:
Faib nws los ntawm 180, muab ob qho tib si los ntawm p, xaj (p-2) (q-2) < 4. Ua li cas? Peb yuav tsum paub tias p thiab q yuav tsum yog tus lej ntuj thiab qhov p > 2 (vim li cas? Thiab p yog dab tsi?) thiab q > 2. Tsis muaj ntau txoj hauv kev ua kom cov khoom ntawm ob tus lej ntuj tsawg dua 4. Peb 'yuav sau lawv tag nrho hauv lub rooj 1.
Kuv tsis tshaj tawm cov duab kos, txhua tus tuaj yeem pom cov duab no hauv Is Taws Nem... Hauv Is Taws Nem ... Kuv yuav tsis tsis kam lees qhov kev xav tsis zoo - tej zaum nws yog qhov nthuav rau cov tub ntxhais hluas nyeem. Xyoo 1970 kuv tham hauv ib lub rooj sab laj. Lub ntsiab lus nyuaj. Kuv muaj sij hawm me ntsis los npaj, kuv zaum yav tsaus ntuj. Lub ntsiab lus tau nyeem-tsuas yog nyob rau hauv qhov chaw. Qhov chaw yog cozy, nrog ib tug ua hauj lwm cua, zoo, nws kaw ntawm xya. Tom qab ntawd tus nkauj nyab (tam sim no kuv tus poj niam) nws tus kheej tau muab rov sau tag nrho tsab xov xwm rau kuv: txog kaum ob nplooj ntawv luam tawm. Kuv theej nws (tsis yog, tsis yog nrog tus cwj mem quill, peb txawm muaj cwj mem), cov lus qhuab qhia tau ua tiav. Niaj hnub no kuv tau sim nrhiav cov ntawv tshaj tawm no, uas twb muaj lawm. Kuv nco ntsoov tsuas yog tus sau lub npe xwb... Kev tshawb nrhiav hauv Internet tau ntev heev... ib tug puv kaum tsib feeb. Kuv xav txog nws nrog kev luag nyav thiab kev tu siab me ntsis tsis ncaj ncees.
Peb rov qab mus rau Siv cov geometry. Pom tau tias, Plato tau kwv yees qhov muaj nyob ntawm daim ntawv thib tsib vim nws tsis muaj ib yam dab tsi sib koom ua ke, npog tag nrho lub ntiaj teb. Tej zaum yog vim li ntawd nws thiaj hais kom ib tug menyuam kawm ntawv (Theajtet) nrhiav nws. Raws li nws yog, yog li nws yog, ntawm lub hauv paus ntawm lub dodecahedron tau pom. Peb hu tus cwj pwm no ntawm Plato pantheism. Txhua tus kws tshawb fawb, nqes mus rau Newton, succumbed rau nws mus rau qhov ntau dua lossis tsawg dua. Txij li thaum lub xyoo pua kaum yim, nws lub hwj chim tau ploj zuj zus mus, txawm hais tias peb yuav tsum tsis txhob txaj muag ntawm qhov tseeb tias peb txhua tus tau swb rau nws ntawm ib txoj kev lossis lwm qhov.
Nyob rau hauv Kepler lub tswv yim ntawm kev tsim lub hnub ci system, txhua yam yog lawm, cov ntaub ntawv sim ua coincided nrog rau txoj kev xav, txoj kev xav yog logically coherent, zoo nkauj heev ... tab sis tsis tseeb kiag li. Nyob rau hauv nws lub sijhawm, tsuas yog rau lub ntiaj teb tau paub: Mercury, Venus, Ntiaj Teb, Mars, Jupiter thiab Saturn. Vim li cas tsuas muaj rau lub ntiaj teb? Kepler nug. Thiab dab tsi tsis tu ncua txiav txim siab lawv nyob deb ntawm lub hnub? Nws xav tias txhua yam txuas nrog, qhov ntawd geometry thiab cosmogony muaj kev sib raug zoo rau ib leeg. Los ntawm cov ntawv sau ntawm cov neeg Greek thaum ub, nws paub tias tsuas muaj tsib lub polyhedra tsis tu ncua. Nws pom tias muaj tsib qhov voids ntawm rau lub orbits. Yog li tej zaum txhua qhov chaw dawb no sib raug rau qee qhov polyhedron li niaj zaus?
Tom qab ob peb xyoos ntawm kev soj ntsuam thiab kev ua haujlwm theoretical, nws tau tsim cov kev xav hauv qab no, nrog kev pab los ntawm qhov nws suav tau qhov tseeb ntawm qhov ntev ntawm lub orbits, uas nws tau nthuav tawm hauv phau ntawv "Mysterium Cosmographicum", luam tawm xyoo 1596: Xav txog lub ntiaj teb loj, txoj kab uas hla uas yog txoj kab uas hla ntawm lub orbit ntawm Mercury nyob rau hauv nws txhua xyoo motion ncig lub hnub. Tom qab ntawd xav txog tias nyob rau ntawm lub ntiaj teb no muaj ib tug octahedron tsis tu ncua, ntawm nws ib tug kheej kheej, ntawm nws ib tug icosahedron, nyob rau nws dua ib tug kheej kheej, rau nws ib tug dodecahedron, rau nws lwm tus kheej kheej, rau nws ib tug tetrahedron, ces dua ib tug kheej kheej, ib lub voos xwmfab. thiab, thaum kawg, ntawm lub voos xwmfab no lub pob tau piav qhia.
Kepler xaus lus tias cov diameters ntawm cov spheres no yog cov diameters ntawm lub orbits ntawm lwm cov ntiaj chaw: Mercury, Venus, ntiaj teb, Mars, Jupiter, thiab Saturn. Txoj kev xav zoo li muaj tseeb heev. Hmoov tsis zoo, qhov no coincided nrog cov ntaub ntawv sim. Thiab dab tsi zoo dua pov thawj ntawm qhov tseeb ntawm kev ua lej ntawm kev tshawb xav ntau dua li nws cov ntawv xov xwm nrog cov ntaub ntawv sim lossis cov ntaub ntawv soj ntsuam, tshwj xeeb tshaj yog "khiav los ntawm ntuj ceeb tsheej"? Kuv piav qhia txog cov kev suav no hauv Table 2. Yog li ntawd Kepler ua li cas? Kuv sim thiab sim kom txog thaum nws ua haujlwm, uas yog, thaum lub teeb tsa (kev txiav txim ntawm spheres) thiab cov txiaj ntsig tau suav nrog cov ntaub ntawv soj ntsuam. Nov yog cov duab Kepler niaj hnub thiab suav:
Ib tug muaj peev xwm succumb mus rau fascination ntawm txoj kev xav thiab ntseeg hais tias cov kev ntsuas nyob rau hauv lub ntuj yog tsis raug, thiab tsis yog cov kev suav ua nyob rau hauv lub silence ntawm lub rhiav. Hmoov tsis zoo, niaj hnub no peb paub tias muaj tsawg kawg yog cuaj lub ntiaj teb thiab tias tag nrho cov txiaj ntsig ntawm qhov tshwm sim tsuas yog ib qho coincidence xwb. Kev hlub. Hu tau zoo heev...
